نواع توزیعهای احتمال

انواع توزیعهای احتمال گسسته

• امتحان برنولی (موفقیت شکست)
  • ویژگیهای امتحان برنولی
• توزیع دو جمله‌ای
• توزیع فوق هندسی
• توزیع هندسی یا زمان انتظار
• پیامدهای کمیاب و توزیع پواسن

توزیعهای احتمال پیوسته

• توزیع نرمال یا توزیع گوس

مباحث مرتبط با عنوان

برای تعیین توزیعهای آماری لازم است دو نوع فضای احتمال تعریف شود:

1- فضای نمونه‌ای را که تعداد عنالصر آن متناهی یا بطور شمارش پذیر نامتناهی باشد، فضای نمونه گسسته گوییم.

2- وقتی فضای نمونه شامل تمام اعداد متعلق به یک فاصله باشد، آن را فضای نمونه پیوسته گوییم.

انواع توزیعهای احتمال

1- توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسته ، یا بطور خلاصه ، توزیع یک متغر تصادفی عبارت است از فهرست مقادیر X_i از متغیر تصادفی X همراه با احتمال منسوب به هر یک از این مقادیر ، (f(x_i) = P(X=X_i. اغلب می توان به جای استفاده از یک فهرست مفصل، از یک فرمول استفاده کرد.
2- تابع چگالی احتمال (f(x ، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را توصیف می‌کند و دارای خواص زیر است.
الف) مساحت کل زیر منحنی چگالی برابر با یک است.
ب) مساحت زیر منحنی چگالی بین b,a مساوی است با (P(a≤x≤b
ج) (f(x مثبت یا صفر است.

انواع توزیعهای احتمال گسسته

امتحان برنولی (موفقیت شکست)

در اینجا تکرارهای متوالی یک آزمایش یا مشاهده را مورد بررسی قرار می‌دهیم و هر تکرار را یک امتحان می‌نامیم.
به علاوه فرض می‌کنیم که برای هر امتحان فقط دو برآمد ممکن وجود دارد. که یکی از آنها را موفقیت و دیگری را شکست می‌نامند بر این تاکید شده باشد که آنها تنها برآمدهای ممکن‌اند.

ویژگیهای امتحان برنولی

الف) هر امتحان به یکی از دو برآمد ممکن می‌انجامد که در اصطلاح فنی موقعیت و شکسیت نامیده می‌شوند.
ب) برای تمام امتحانها ، احتمال موفقیت p ، یکی است. بنابراین احتمال شکست برای هر امتحان q=1-p است که آن را با q نشان می‌دهید، بطوری که p+q=1
ج) امتحانها مستقل از یکدیگرند. احتمال موفقیت در یک احتمال با داشتن هر مقدار اطلاعات از برآمدهای سایر احتمالها ، تغییر نمی‌کند.
د) احتمالهای برنولی به صورت P(X=x) = p^xq^1-x تعریف می شود. دارای میانگین p (احتمال موفقیت) و واریانس pq (احتمال موفقیت در احتمال شکست) می‌باشد.

توزیع دو جمله‌ای

در حالتی که n امتحان مرکدر برنولی (n عدد ثابت) انجام می‌شوند و احتمال موفقیت در هر امتحان p است. توزیع دو جمله‌ای عبارت است از تعداد موفقیتهای در n امتحان.
توزیع دو جمله‌ای را به صورت
p^x(1-p)^1-x (ترکیب x شیء از n شیء) = (P(X=x) = b(x;n;p برای تمایز n,…,2,1,0 تعریف می‌شود. اصطلاح توزیع دو جمله‌ای از قضیه مهمی در جبر به نام قضیه بسط دو جمله‌ای ، که مربوط است به فرمول بسط a+b)ⁿ) گرفته شده است توزیع دو جمله‌ای دارای میانگین np (تعداد موفقیتهای در n امتحان) و واریانس npq (تعداد موفقیتها در n امتحان ضرب در احتمال شکستها) می‌باشد.

توزیع فوق هندسی

فرض کنید می‌خواهیم نمونه گیری را از یک جامعه N عنصری انجام دهیم که خود می‌تواند به دو گروه تقسیم شود، گروهی که مشخصه معینی دارند و بقیه که دارای چنین مشخصه‌ای نیستند. این دو گروه می‌توانند مثلا ، نر به ماده ، شاغل- بیکار ، سالم- معیوب و نظایر اینها باشند. با پذیرش اصطلاحات سالم و معیوب برای توصیف این دو گروه ، تعداد معیوبها در جامعه را با D نشان می‌دهیم، بنابراین تعداد عناصر سالم N-D خواهد بود. سپس فرض می‌کنیم X ، نشاندهنده تعداد معیوبها در نمونه تصادفی n عنصری باشد. توزیع فوق هندسی به صورت x=0,1,…,n و
(ترکیبn از N شی)/(ترکیب n-x از N-D شی) (ترکیب x از D شی) = (P(X=x تعریف می‌شود. دارای میانگین np ، که در آن P=D/N (نسبت معیوبهای جامعه) ، و واریانس (ndq(N-n)/N-1 می‌باشد.

توزیع هندسی یا زمان انتظار

توزیع هندسی ، توزیع گسسته دیگری است که در مبحث امتحانهای برنولی پیش می‌آید. وقتی تعداد امتحانها معین باشد، تعداد موفقیتها متغیری با توزیع دو جمله‌ای (b(n,p است. اگر به جای اینکه تعداد امتحانها از قبل معین باشد، بخواهیم امتحانهای برنولی را تا به دست آوردن اولین موفقیت تکرار کنیم، تعداد موفقیتهای عدد معین 1 است ولی تعداد احتمالها متغیر تصادفی است. X عبارت است از تعداد امتحان های برنولی تا به دست آوردن اولین موفقیت. توزیع هندسی به صورت
p(X=x)=q^1-xp , X=0,1,…,n تعریف می‌شود. دارای میانگین p^-1 و واریانس q/p² می‌باشد.

توزیع هندسی را گاهی توزیع زمان انتظار گسسته می‌گویند. این امر ناشی از این واقعیت است که اگر انجام یک امتحان برنولی یک واحد زمان طول بکشد، زمان انتظار برای به دست آوردن اولین موفقیت ، دقیقا عبارت است از متغیر تصادفی x که دارای توزیع هندسی است. توزیع هندسی اغلب برای مطالعه یک مشخصه کمیاب جامعه ، نظیر وجود نوعی بیماری خونی کمیاب ، مفید است.

پیامدهای کمیاب و توزیع پواسن

توزیع پواسن برای ساختن مدل بسیاری از پدیده‌های شانسی مفید است. همچنین تقریبی از احتمالهای دو جمله‌ای را به دست می‌دهد. توزیع پواسن علاوه بر نقشی که به عنوان یک توزیع تقریب کننده دارد، مدل احتمال مفیدی است برای پیشامدهایی که بطور تصادفی در زمان یا مکان رخ می‌دهند، هنگامی که دانسته‌ها منحصر به متوسط تعداد رخدادهای آنها در واحد زمان یک مکان باشد. برای پیشامدی که در زمان اتفاق می‌افتد، هر لحظه از زمان را می‌توان احتمال بالقوه‌ای دانست که در آن ، پیشامد ممکن است رخ بدهد یا رخ ندهد. در یک واحد زمان، بطور بالقوه تعداد متناهی احتمال وجود دارد، ولی معمولا پیشامدها به دفعات اندکی اتفاق می‌افتد.

توزیع پواسن به صورت x=0,1,…,n و !P(X=x) = e^-mm^x/x تعریف می‌شود که e عدد نمایی و برابر 71828/2 است.

توزیعهای احتمال پیوسته

توزیع نرمال یا توزیع گوس

توزیع نرمال ، که ممکن است بعضی از خوانندگان نمودار آن را به عنوان منحنی زنگدیس بشناسند، گاهی با نامهای پیر لاپلا س و کارل گاوس که در تاریخ پیدایش آن نقش چشمگیری داشته‌اند، همراه است. گاوس توزیع نرمال را با روش ریاضی به عنوان توزیع احتمال خطای اندازه‌گیریها به دست آورد و آن را "قانون نرمال خطاها" نامید. توزیع نرمال نقشی اساسی در آمار بازی می‌کند، و روشهای استنباطی که از آن به دست می‌آیند، دارای قلمرو کاربرد وسیعی هستند و ستون فقرات روشهای جاری تجزیه و تحلیل آماری را تشکیل می‌دهند.

توزیع نرمال دارای چگالی e^{-(x-µ)2/2σ2}/σ√2π می‌باشد. که در آن µ میانگین و σ انحراف معیار است به صورت (N(µ,σ² نشان داده می‌شود.

• اگر انحراف معیار با میانگین 0 و انحراف معیار 1 باشد آن را توزیع نرمال استاندارد می‌گویند و به صورت (N(0,1 نشان می‌دهند، دارای توزیع Z = (x-µ)/σ می‌باشد.

• قضیه حد مرکزی: برای توزیع میانگین نمونه مبتنی بر نمونه‌ای تصادفی به حجم n ، میانگین (X) برابر µ ، واریانس (X) برای σ²/n یا (n/ واریانس جامعه) ، انحراف معیار (X) برابر σ/√n یا (n√/انحراف معیار جامعه) می‌باشد. طبق قضیه حد مرکزی توزیع نرمال به صورت Z = (X- µ) / σ/√n تقریبا (N(0,1 است.

مباحث مرتبط با عنوان

• انحراف معیار
• پیشامد
• توزیع پواسن
• توزیع دو جمله‌ای
• توزیع فوق هندسی
• توزیع گوس
• توزیع هندسی
• فضای نمونه
• فضای نمونه گسسته
• فضای نمونه پیوسته
• میانگین
• واریانس

توزيع هاي آماري

براي تعيين توزيع هاي آماري لازم است دو نوع فضاي احتمال تعريف شود: 

1- فضاي نمونه‌اي را که تعداد عنالصر آن متناهي يا بطور شمارش پذير نامتناهي باشد، فضاي نمونه گسسته گوييم. 
2- وقتي فضاي نمونه شامل تمام اعداد متعلق به يک فاصله باشد، آن را فضاي نمونه پيوسته گوييم.

انواع توزيع هاي احتمال

1- توزيع احتمال يک متغير تصادفي گسسته، يا بطور خلاصه، توزيع يک متغر تصادفي عبارت است از فهرست مقادير Xi از متغير تصادفي X همراه با احتمال منسوب به هر يک از اين مقادير(f(xi) = P(X=Xi. اغلب مي توان به جاي استفاده از يک فهرست مفصل، از يک فرمول استفاده کرد.

2- تابع چگالي احتمال(f(x، توزيع احتمال يک متغير تصادفي پيوسته را توصيف مي‌کند و داراي خواص زير است:
الف) مساحت کل زير منحني چگالي برابر با يک است.
ب) مساحت زير منحني چگالي بين b،a مساوي است با(P(a≤x≤b.
ج) (f(x مثبت يا صفر است.

 

انواع توزيع هاي احتمال گسسته

امتحان برنولي(موفقيت شکست): در اين جا تکرارهاي متوالي يک آزمايش يا مشاهده را مورد بررسي قرار مي ‌دهيم و هر تکرار را يک امتحان مي ‌ناميم. به علاوه فرض مي ‌کنيم که براي هر امتحان فقط دو برآمد ممکن وجود دارد. که يکي از آن ها را موفقيت و ديگري را شکست مي ‌نامند بر اين تاکيد شده باشد که آن ها تنها برآمدهاي ممکن‌اند.

ويژگي هاي امتحان برنولي 
الف) هر امتحان به يکي از دو برآمد ممکن مي ‌انجامد که در اصطلاح فني موقعيت و شکسيت ناميده مي‌ شوند.
ب) براي تمام امتحان ها، احتمال موفقيت p، يکي است. بنابراين احتمال شکست براي هر امتحان q=1-p است که آن را با q نشان مي ‌دهيد، بطوري که p+q=1.
ج) امتحان ها مستقل از يکديگرند. احتمال موفقيت در يک احتمال با داشتن هر مقدار اطلاعات از برآمدهاي ساير احتمال ها، تغيير نمي‌ کند.
د) احتمال هاي برنولي به صورت P(X=x) = pxq1-x تعريف مي شود. داراي ميانگين p (احتمال موفقيت) و واريانس pq(احتمال موفقيت در احتمال شکست) مي ‌باشد.

توزيع دو جمله‌اي

در حالتي که n امتحان مرکدر برنولي(n عدد ثابت) انجام مي ‌شوند و احتمال موفقيت در هر امتحان p است. توزيع دو جمله‌اي عبارت است از تعداد موفقيت هاي در n امتحان. توزيع دو جمله‌اي را به صورت px(1-p)1-x (ترکيب x شيء از n شيء) = (P(X=x)=b(x؛ n؛ p براي تمايز n،…،2،1،0 تعريف مي ‌شود. اصطلاح توزيع دو جمله ‌اي از قضيه مهمي در جبر به نام قضيه بسط دو جمله‌اي، که مربوط است به فرمول بسط a+b)n) گرفته شده است توزيع دو جمله‌اي داراي ميانگين np(تعداد موفقيت هاي در n امتحان) و واريانس npq(تعداد موفقيت ها در n امتحان ضرب در احتمال شکست ها) مي‌ باشد.

توزيع فوق هندسي

فرض کنيد مي ‌خواهيم نمونه گيري را از يک جامعه N عنصري انجام دهيم که خود مي ‌تواند به دو گروه تقسيم شود، گروهي که مشخصه معيني دارند و بقيه که داراي چنين مشخصه‌اي نيستند. اين دو گروه مي ‌توانند مثلا، نر به ماده، شاغل- بيکار، سالم- معيوب و نظاير اين ها باشند. با پذيرش اصطلاحات سالم و معيوب براي توصيف اين دو گروه، تعداد معيوب ها در جامعه را با D نشان مي‌ دهيم، بنابراين تعداد عناصر سالم N-D خواهد بود. سپس فرض مي کنيم X، نشان دهنده تعداد معيوب ها در نمونه تصادفي n عنصري باشد. توزيع فوق هندسي به صورت x=0،1،…،n و (ترکيبn از N شي)/ (ترکيب n-x از N-D شي)(ترکيب x از D شي)= (P(X=x تعريف مي ‌شود. داراي ميانگين np، که در آن P=D/N(نسبت معيوب هاي جامعه)، و واريانس(ndq(N-n)/N-1) مي ‌باشد.

توزيع هندسي يا زمان انتظار

توزيع هندسي، توزيع گسسته ديگري است که در مبحث امتحان هاي برنولي پيش مي ‌آيد. وقتي تعداد امتحان ها معين باشد، تعداد موفقيت ها متغيري با توزيع دو جمله‌اي(b(n،p است. اگر به جاي اين که تعداد امتحان ها از قبل معين باشد، بخواهيم امتحان هاي برنولي را تا به دست آوردن اولين موفقيت تکرار کنيم، تعداد موفقيت هاي عدد معين 1 است ولي تعداد احتمال ها متغير تصادفي است. X عبارت است از تعداد امتحان هاي برنولي تا به دست آوردن اولين موفقيت. توزيع هندسي به صورت p(X=x)=q1-xp ، X=0،1،…،n تعريف مي‌ شود. داراي ميانگين p-1 و واريانس q/p2 مي‌ باشد. توزيع هندسي را گاهي توزيع زمان انتظار گسسته مي‌ گويند. اين امر ناشي از اين واقعيت است که اگر انجام يک امتحان برنولي يک واحد زمان طول بکشد، زمان انتظار براي به دست آوردن اولين موفقيت، دقيقا عبارت است از متغير تصادفي x که داراي توزيع هندسي است. توزيع هندسي اغلب براي مطالعه يک مشخصه کمياب جامعه، نظير وجود نوعي بيماري خوني کمياب، مفيد است.

پيامدهاي کمياب و توزيع پواسن

توزيع پواسن براي ساختن مدل بسياري از پديده ‌هاي شانسي مفيد است. هم چنين تقريبي از احتمال هاي دو جمله‌اي را به دست مي ‌دهد. توزيع پواسن علاوه بر نقشي که به عنوان يک توزيع تقريب کننده دارد، مدل احتمال مفيدي است براي پيشامدهايي که بطور تصادفي در زمان يا مکان رخ مي ‌دهند، هنگامي که دانسته ‌ها منحصر به متوسط تعداد رخدادهاي آن ها در واحد زمان يک مکان باشد. براي پيشامدي که در زمان اتفاق مي ‌افتد، هر لحظه از زمان را مي ‌توان احتمال بالقوه‌اي دانست که در آن، پيشامد ممکن است رخ بدهد يا رخ ندهد. در يک واحد زمان، بطور بالقوه تعداد متناهي احتمال وجود دارد، ولي معمولا پيشامدها به دفعات اندکي اتفاق مي‌ افتد. توزيع پواسن به صورت x=0،1،…،n و P(X=x)= e-mmx/x تعريف مي‌ شود که e عدد نمايي و برابر 71828/2 است.

توزيع هاي احتمال پيوسته

توزيع نرمال يا توزيع گوس: توزيع نرمال، که ممکن است بعضي از خوانندگان نمودار آن را به عنوان منحني زنگديس بشناسند، گاهي با نام هاي پير لاپلا س و کارل گاوس که در تاريخ پيدايش آن نقش چشمگيري داشته‌اند، همراه است. گاوس توزيع نرمال را با روش رياضي به عنوان توزيع احتمال خطاي اندازه گيري ها به دست آورد و آن را "قانون نرمال خطاها" ناميد. توزيع نرمال نقشي اساسي در آمار بازي مي‌ کند، و روش هاي استنباطي که از آن به دست مي ‌آيند، داراي قلمرو کاربرد وسيعي هستند و ستون فقرات روش هاي جاري تجزيه و تحليل آماري را تشکيل مي ‌دهند. توزيع نرمال داراي چگاليe-(x-µ)2/2σ2/σ√2π مي ‌باشد. که در آن µ ميانگين و σ انحراف معيار است به صورت(N(µ،σ2 نشان داده مي ‌شود. اگر انحراف معيار با ميانگين 0 و انحراف معيار 1 باشد آن را توزيع نرمال استاندارد مي ‌گويند و به صورت(N0)،1 نشان مي‌دهند، داراي توزيع Z = (x-µ)/σ مي ‌باشد.

قضيه حد مرکزي: براي توزيع ميانگين نمونه مبتني بر نمونه‌اي تصادفي به حجم n، ميانگين(X) برابر µ، واريانس(X) براي σ2/n يا(n/ واريانس جامعه)، انحراف معيار(X) برابر σ/√n يا(n√/انحراف معيار جامعه) مي ‌باشد. طبق قضيه حد مرکزي توزيع نرمال به صورت Z = (X- µ)/ σ/√n تقريبا(N0)،1 است.

منبع: دانشنامه رشد

توزیع برنولی

توزیع برنولی

وقتی لامپی را امتحان می کنیم ممکن است سالم باشد یا معیوب. به طور کلی وقتی کالایی را در موقع خرید امتحان می کنیم یا سالم است و یا ناقص. وقتی از فردی در مورد اعتیادش به سیگار سؤال می کنیم یا سیگاری است یا نیست. از این پدیده های دو حالتی زیادند. اگر سالم بودن کالا یا سیگاری بودن فرد را با 1 = X و ناقص بودن کالا و سیگاری نبودن فرد را با 0 = X نشان دهیم متغیری تصادفی داریم که دو مقدار0 و 1 را اختیار می کند. این آزمایش های دو حالته را امتحان می نامیم و فضای نمونه‌ای هر امتحان دو برآمد دارد دارد. ریختن سکه هم یک امتحان است.

اگر احتمال سالم بودن کالا یا سیگاری بودن فرد را p بگیریم احتمال ناقص بودن کالا و یا سیگاری نبودن فرد را برابر q است. پس جدول توزیع احتمال زیر را برای هر امتحان داریم: 1 = p + q

مرسوم است که دو برآمد امتحان را پیروزی و شکست می نامند. برآمدی که مورد توجه است پیروزی نامیده می شود. مثلا ممکن است لامپ ها را یک به یک برای یافتن لامپی معیوب امتحان کنیم، در این صورت یافتن لامپ معیوب یک پیروزی است. این جدول را می توان به صورت رابطه زیر هم خلاصه کرد:

به طور کلی اگر پیشامد A از یک فضای نمونه ای را در نظر بگیریم و رخداد A را پیروزی گرفته احتمال پیروزی را p فرض کنیم، آن گاه متغیر تصادفی X که به صورت :

تعریف می شود دارای تابع احتمال بالاست .

متغیر تصادفی X را که تنها دو مقدار صفر و یک را می پذیرد، متغیر برنولی و توزیع احتمال آن را توزیع برنولی می گویند .

حال اگر یک آزمایش را n بار تکرار کنیم، احتمال x بار پیروزی از رابطه ی زیر محاسبه می شود:

که در آن P احتمال پیروزی در یک آزمایش است.

امید ریاضی

زندگی روزانه علاوه بر مفاهیم پیشامد، احتمال، و متغیر تصادفی با مفهوم دیگری به­نام امید یا انتظار همراه است. در حالی که انسان همواره با امید زندگی می­کند، ولی نمی­تواند بیش از حد به بعضی رویدادها چشم امید داشته باشد. امید و انتظار هم مانند تصادف و شانس، در عین بی­نظامی، تابع نظام و قوانینی می­باشد.

از نظر تاریخی امید و انتظار مانند تصادف و احتمال از راه بازی های قمار جنبه ریاضی پیدا کرده است. برای اینکه مطلب روشن شود به بازی شیر و خط زیر توجه نمائید:

فرض کنید با خریدن یک بلیط بتوانید در یک بازی تفریحی شرکت کنید. در این بازی یک ماشین سکه انداز با فشار تکمه­ای به تصادف سه سکه با رنگ­های مختلف را باهم می­ریزد و با فشار تکمه­ای دیگر به اندازه شماره شیرها، سکه ده ریالی به شما می­پردازد.

صاحب ماشین مدعی است که اصلاً قمار و سودجویی ندارد و صرفاً می­خواهد مردم را سرگرم کند، ولی قیمت هر بلیط باید طوری باشد که بعد از چند بازی رویهم ضرر نکند. منصفانه بهای هر بلیط چقدر باید باشد؟

چون سکه­ها کاملاً به تصادف می­ریزند، احتمال اینکه شماره شیرها 0،1،2،3 شوند به­ترتیب 8/1، 8/3 ، 8/3،8/1 می­باشد. حال اگر تعدادی زیاد بلیط، مثلاً 400 بلیط، فروش رود انتظار می­رود (بنابر تعبیر احتمال با فراوانی نسبی) 50 مرتبه هیچ شیر،150 مرتبه یک شیر، 150مرتبه دو شیر، و 50 مرتبه سه شیر مشاهده شود. بنابراین انتظار می­رود که ماشین برای 400 بلیط مبلغ زیر را بپردازد:

(400×1/8×0)+(400×3/8×1)+ (400×3/8×2)+ (400×1/8×3)=600 tooman

برای اینکه صاحب ماشین نه سود نماید نه زیان، بهای هر بلیط به­طور متوسط یا منصفانه باید 1.5=400÷600 تومان باشد. بنابراین اگر 400 بلیط به مبلغ 600 تومان فروخته شود انتظار می­رود که ماشین هم همین مبلغ را بپردازد.

در این مثال یک متغیر تصادفی X ( یعنی شماره شیرها در ریزش 3 سکه ) داریم که جدول توزیع احتمال آن به­صورت زیر است:

عدد زیر را که حقیقت معدل وزنی شماره شیرها می­باشد، امیدریاضی یا امیدX  می­نامند و با E(X) نشان می­دهند (E حرف اول کلمه Expectation به­معنای انتظار است)

E(x)= (1/8×0)+(3/8×1)+( 3/8×2) + (1/8×3)=1.5

تعبیر فراوانی E(x)=1.5 چنین  است: اگر ماشین این سه سکه را بارها مثلاً 1000 بار بریزد انتظار داریم معدل شیرها در هر بار بشود عدد 5/1.

 

   
      متغير تصادفي:




      کلیات:

      متغير تصادفي گسسته
      متغير تصادفي پيوسته
      متغير تصادفي گسسته
       تابع چگالي احتمال
      خواص تابع چگالي احتمال
      تابع توزيع تجمعي
      خواص تابع توزيع تجمعي
      اميد رياضي
      واريانس
      متغير تصادفي پيوسته
      تابع توزيع احتمال
       تابع توزيع تجمعي
      اميد رياضي
      واريانس

      تعريف متغير تصادفي
      متغير تصادفي, عددي است حقيقي که به پيشامدهاي حاصل از يک آزمايش نسبت داده
      ميشود. با نسبت دادن اعداد به پيشامدها ميتوان آنها را به صورت کمي بيان کرد.
      به¬عنوان مثال در آزمايش پرتاب سکه بجاي ذکر نتيجه به صورت رو يا پشت مايليم
      نتيجه را به صورت عددي بيان کنيم. متغير تصادفي به هر يک از نتايج آزمايش    
      به صورت يکتا عددي را نسبت مي¬دهد.
      اگر v يک پيشامد مورد نظر در فضاي نمونه w باشد, تابع (X(vکه تابعي از پيشامد
      v است, يعني مقدار آن بستگي به وقوع v در آزمايش دارد, متغير تصادفي ناميده
      مي¬شود. ( X(v عددي حقيقي و نگاشتي از w در R است. براي اختصار ( X(v را به
      صورت   نمايش مي¬دهند.
      متغيرتصادفي به دو صورت متغير تصادفي گسسته و متغير تصادفي پيوسته وجود دارد.
       متغير تصادفي گسسته
      متغير تصادفي گسسته, فقط مقادير گسسته اي مانند 0,1,2,3,.. را خواهد داشت.
      اين مجموعه مي¬تواند شمارش پذير باشد يا نباشد.
      متغير تصادفي پيوسته
      وقتي مجموعه مقادير متغير تصادفي ممکن باشد متغير تصادفي را پيوسته گوييم.
      مثال:
      1- در آزمايش ده بار پرتاب سکه, متغير تصادفي X تعداد دفعاتي است که رو
      مي¬آيد. در اينصورت X مي¬تواند مقادير 0,1,…,10 را داشته باشد. در اينجا X يک
      متغير تصادفي گسسته مي¬باشد. همچنين تعداد تلفنهايي که در فاصله زماني معين
      به يک شرکت زده مي¬شود متغير تصادفي گسسته X است که مقادير x=0,1,..,n,.. را
      مي¬توان به آن نسبت داد.
       2- براي زمان کارکرد يک لامپ, چنانچه متغير تصادفي Y نشان¬دهنده طول عمر
      لامپ باشد, مي¬تواند مقادير حقيقي مثبت داشته باشد بنابراين Y  متغير تصادفي
      پيوسته مي¬باشد.
      تابع چگالي احتمال
      تابع چگالي احتمال متغير تصادفي گسسته, احتمال مربوط به مقادير ممکن متغير
      تصادفيي گسسته را به دست مي¬دهد. به عبارت ديگر تابع چگالي احتمال متغير
      تصادفيي گسسته X, تابعي است که احتمال p(X=xi) را نشان مي¬دهد.
       
        را تابع چکالي احتمال متغير تصادفي X گويند.
      خواص تابع چگالي احتمال
      تابع چگالي احتمال شرطهاي زير را برآورده مي¬کند:
      
      تابع توزيع تجمعي
      تابع توزيع تجمعي متغير تصادفي, احتمال اينکه متغير تصادفي X کوچکتر يا مساوي
      x باشد را به¬دست مي¬دهد, که آنرا با F(x) نشان مي¬دهيم.
      
      خواص تابع توزيع تجمعي
      تابع توزيع F(x) در مورد هر متغير تصادفي X داري خواص زير است:
      
      تابع توزيع F(x) ,وقتي x افزايش مي¬يابد غير نزولي است.  F(x) در مورد
      متغيرهاي تصادفي گسسته شکل بسيار ساده¬اي دارد و اغلب به صورت پله¬اي است و
      در نقاط ناپيوستگي, F(x) از راست پيوسته است. به اين ترتيب احتمال اينکه
      متغير تصادفي X در فاصله آلفا و بتا قرار بگيرد برابر است با
      
      اميد رياضي
      اميد رياضي متغير تصادفي, مقدار ميانگين آن¬ را نشان مي¬دهد. که اطلاعات
      مختصر و مفيدي در رابطه با نحوه توزيع مقادير متغير تصادفي را به دست مي¬دهد.
      اميد رياضي متغير تصادفي X را با E(x)يا   نشان مي¬دهيم.
      
      دو متغير تصادفي با اميد يکسان ممکن است توزيع¬هاي کاملا متفاوتي داشته باشند
      از اينرو واريانس را تعريف مي¬کنيم که حاوي اطلاعات مفيدتري است
      چرا متغير تصادفي تعريف مي کنيم؟
      
      در تعريف فضاي نمونه يک آزمايش لازم نيست نتيجه­ي پيشامد مفروضي حتما يک عدد
      باشد. مثلا فضاي نمونه­ي مربوط به دو بار پرتاب يک سکه را مي توان به صورت
      زير نشان داد.
      
      S = {HH ,HT, TH, TT}
      
      پديده هاي تصادفي متعددي نيز وجود دارند که نتايجشان زير مجموعه­هايي از
      اعداد حقيقي اند.مانند عمر انسان، مسافت طي شده به وسيله ي يک خودرو به ازاي
      مقدار معيني سوخت و...، همه نمونه هايي از پديده هاي احتمالي هستند که نتايج
      آنها زير مجموعه هاي اعداد حقيقي اند.
      نکته اينجاست که آزمايش چه نتايج عددي به دنبال داشته باشد و چه نداشته باشد،
      تقريبا در همه موارد ما به نتايج عددي علاقه منديم. براي اين منظور به قانون
      و يا قاعده اي نياز منديم که از طريق آن بتوان فضاي نمونه ي آزمايش را به
      فضاي اعداد حقيقي تصوير کرد.
      اين نقش را متغير تصادفي به عهده مي گيرد.
      
      
      
      تعريف متغير تصادفي: تابعي است که از فضاي نمونه يک آزمايش به مجموعه اعداد
      حقيقي تعريف مي شود X:S → R
      
      در بسياري موارد ما ناگزيريم که متغير تصادفي تعريف کنيم.
      در آزمايشهايي نظير:
      
      -يک واکنش شيميايي
      -فوتون هاي ساطع شده از توسط يک ليزر
      
      نمي توان توصيف دقيقي از فضاي نمونه (Sample Space) داشت، اما مي توان با
      اندازه گيريهاي مشخصي اين فرايند ها را به صورت رياضي توصيف کرد.
      مثلا در موارد فوق مي توان اندازه گيري هاي زير را انجام داد.
      
      -تغيير دماي حاصل از آزمايش
      -تعداد فتونهاي ساتع شده در يک ميليونيم ثانيه
      
      بنابراين مي توان متغير تصادفي را به عنوان اندازه­گيري يک آزمايش تجربي در
      نظر گرفت که به فضاي نمونه يک مقدار حقيقي نسبت مي دهد.
      
      متغير تصادفي گسسته
      
      متغيري است که تنها مي تواند مقادير گسسته نظير 1، 2، 3و... را بگيرد متغير
      تصادفي گسسته معمولا(و نه لزوما) شمارا است.
      
      تعداد فرزندان يک خانواده
      تعداد مراجعات به مطب يک پزشک در روز
      تعداد لامپهاي معيوب در يک جعبه صد تايي
      
      نمونه هايي از متغير تصادفي گسسته هستند.
      توزيع احتمال متغير تصادفي گسسته جدولي است که احتمال مربوط به هر مقدار ممکن
      آن متغير را بدست مي دهد که به آن تابع احتمال نيز گفته مي شود.
      
      مثال
      فرض کنيد متغير تصادفی X مي تواند مقادير 1، 2، 3 و يا 4 را بگيرد.که احتمال
      مربوط به هر يک از اين مقادير با جدول زير بدست مي آيد
      
            پيشامد1234
            احتمال0.10.30.40.2

      
      احتمال اين که X مقادير 2 يا 3 بگيرد برابر است با :
      
      P(X = 2 or X = 3) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0.3 + 0.4 = 0.7
      به همين طريق احتمال پيشامد هاي بزرگتر از 1 برابر است با :
      1 - P(X = 1) = 1 - 0.1 = 0.9
       
      براي متغير تصادفي X تابع F که روي بازه­ي (-∞,+∞)  به صورت F(t)=P(X≤t)
      تعريف مي شود را تابع توزيع X يا گاهي تابع توزيع تجمعي X مي ناميم.
      
      تابع توزيع براي متغير تصادفي مثال بالا به صورت زير محاسبه مي شود:
      
      احتمال آن که X کوچکتر يا مساوي 1 باشد برابر است با: 0.1
      احتمال آن که X کوچکتر يا مساوي 2 باشد برابر است با: 0.1+0.3 = 0.4
      احتمال آن که X کوچکتر يا مساوي 3 باشد برابر است با: 0.1+0.3+0.4 = 0.8
      احتمال آن که X کوچکتر يا مساوي 4 باشد برابر است با: 0.1+0.3+0.4+0.2 = 1
      

      
      متغير تصادفي پيوسته
      
      مقادير ممکن متغير تصادفي پيوسته مجموعه­ي مقادير حقيقي شمارش ناپذير است.
      
      فاصله زمان انتشار دو ذره
      دامنه­ي تشخيص يک رادار
      خطاي اندازه گيري
      
      نمونه هايي از متغير تصادفي پيوسته هستند.
      
      براي متغير تصادفي X فرض کنيد يک تابع حقيقي مقدار نا منفي مانند f:R→[0,∞)
      وجود دارد که براي هر زير مجموعه اعداد حقيقي مانند A داشته باشيم:
      
      
      
      تابع f را تابع چگالي احتمال X مي ناميم.
      براي هر متغير تصادفي پيوسته با تابع چگالي احتمال f(X) داريم:
      يعني مجموع احتمال روي کل بازه برابر 1 است.
      
      مثال
      X يک متغير تصادفي پيوسته است با تابع چگالي پيوسته
       f(x) = cx  براي 0 ≤ x < 1 مقدار ثابت c را بيابيد
      طبق فرمول بالا اگر انتگرال f(x) را بين مقادير 1 و صفر را برابر 1 قرار دهيم
      مقدار ثابت بدست مي آيد.
      c = 2      
      بررسي دقيق تر تابع توزيع متغيرهاي تصادفی
      
      توزيع احتمال گسسته
      
      در مورد هر متغير تصادفي گسسته مانند X با مجموعه­ي مقدير ممکن A ، توزيع
      احتمال مي تواند در قالب فرمول، جدول يا شکلي نشان داده شود که احتمال
      
      0≤ P(X=x) = p(x) ≤1
      
      را به هر يک از مقادير x تخصيص مي دهد. در اين صورت:
      
            p(x)=0 براي xهايي که عضو A نيستند.
            ∑ p(x) =1 براي همه­ي xهاي عضو A .
      
      در بسياري از موارد به محاسبه­ي احتمال اينکه مقدار متغير تصادفي X کوچکتر يا
      مساوي مقدار معلوم x باشد، علاقمنديم.اگر اين احتمال را به صورت:
      
      F(x) = P(X ≤ x)
      
      بنويسيم، آنگاه تابع F(x) به نام تابع توزيع تجمعي متغير تصادفي X ناميده مي
      شود و به اختصار با cdf(Cumulative Distribution Function) نشان­داده مي­شود.
      بعضي از خصوصيات تابع توزيع تجمعي عبارت است از:
      
            0 ≤ F(x) ≤ 1
            F غير نزولي است.
            Lim x →∞ F(x) = 1
            Lim x → -∞ F(x) = 0
            F از سمت راست پيوسته است.
      
      توزيع احتمال پيوسته
      
      اين که يک متغير تصادفي پيوسته دقيقاَ يکي از مقاديرش را بگيرد، درست مانند
      انتخاب يک نقطه از تعداد نا محدود نقاط فضاي آزمايش است، و به همين دليل
      احتمالي برابر صفر دارد. در نتيجه، تابع توزيع يک متغير تصادفي پيوسته را
      نمي­توان در قالب يک جدول نشان داد.
      در اين حالت در مورد احتمال نظير يک فاصله (بازه) از مقادير متغير تصادفي نظر
      مي دهيم.
      اگر چه توزيع احتمال يک متغير تصادفي را نمي توان در قالب يک جدول نشان داد،
      ولي مي توان ان را در قالب يک فرمول رياضي بيان کرد. اين فرمول لزوماَ تابعي
      است از مقادير عددي متغير تصادفي X که با نماد f(x) نشان داده مي­شود و تابع
      چگالي احتمال و يا به عبارت ساده تر چگالي احتمال متغير تصادفي X ناميده مي
      شود و اختصاراَ با pdf(probability density function) نشان داده مي شود. تابع
      چگالي احتمال در روابط زير صدق مي کند:

      توزيع تجمعي متغير تصادفي پيوسته  X با چگالي احتمال f(x) عبارت است از:

      لینک های مفید در رابطه با متغیر تصادفی
      
      
      http://home.jesus.ox.ac.uk/~clifford/a5/chap1/node1.html
      
      http://www.mathsrevision.net/alevel/statistics/continuous_random_variables.php
      
      http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/ranvar.htm
      
      http://www.ed.uiuc.edu/courses/epsy480/notes/l1516.htm
      
      http://library.wolfram.com/conferences/devconf99/rose/Links/Rose_mathStatica_lnk_6.html
      
      http://people.hofstra.edu/faculty/Stefan_Waner/cprob/cprob1.html
      
      http://www.stats.gla.ac.uk/steps/glossary/probability_distributions.html#indeprandvar
      
      http://economics.about.com/library/glossary/bldef-independent.htm
       

جایگشت

اگر به عنوان n شی دو به دو متمایز باشند آنگاه هر حال کنار هم قرار گرفتن این n شی کنار هم در یک ردیف را یک جایگشت از این n شی می گوییم. برای ردیف کردن این n شی کنار هم به n مکان نیاز است. برای قرار دادن اولین شی در خانه اول n حالت انتخاب داریم. برای قرار دادن دومین شی در خانه دوم n-1 حالت انتخاب داریم و به همین ترتیب برای قرار داردن n امین شی باقی مانده در خانه nام(خانه اخر) 1 حالت انتخاب داریم به این ترتیب بر طبق اصل ضرب برای قرار دادن این n شی در کنار هم در یک ردیف:
حالت وجود دارد که برابر می باشد با:
به این ترتیب تعداد حالات جایگشت n شی دو به دو متمایز برابر است.

---

مثال: به چندطریق می توان 5 کتاب متفاوت را کنار هم در یک قفسه قرار داد؟

پاسخ: برطبق توضیحات داده شده جواب برابر است با:

---

جایگشت خود می توان به 2 بخش تقسیم شود:
1- جایگشت با تکرار
2- جایگشت دوری

---

جایگشت با تکرار:

در قسمت قبل در مورد گونه ای جایگشت توضیح دادیم که در آن اشیا در به دو متمایز بودند اما گاهی ممکن است این اشیا در به دو متمایز نباشند و مثلا 3 عدد از انها از یک نوع باشند. چنین حالاتی را جایگشت باتکرار بررسی می کند.
با یک مثال روش محاسبه را توضیح می دهیم و سپس فرمولی برای محاسبه حالات بیان می کنیم:

فرض کنید می خواهیم فقط با ارقام 1.2.2.3 اعداد چهار رقمی بسازیم. یعنی عدد 1 یکبار، عدد 2 دو بار، عدد 3 یکبار
آمده باشد. بدیهی است که اگر این چهار رقم متمایز و به غیر صفر بودند تعداد اعداد برابر 24=!4 عدد می شد ولی اصل ضرب در این مورد ناخواسته دو عدد 2 را متمایز در نظر گرفته است و مثلا 1223 و 1223 را دو حالت متمایز در یظر گرفته است در حالی که این دو تفاوتی با هم ندارند. با نوشتن تعداد حالات متوجه میشویم که تعداد حالات واقعی این جایگشت !2 برابر مقدار محاسبه شده با اصل ضرب است به این ترتیب تعداد حالات واقعی برابر است.
پس به این ترتیب تعداد k شی از یک نوع، به اندازه !K حالات اضافه تولید می کنند که باید از کل حالات که با اصل ضرب محاسبه می شود برداشته شوند.

تعریف: اگر n شی در اختیار داشته باشیم که تا از نوع اول، تا از نوع دوم، تا از نوع سوم،....و تا از نوع k ام باشند به گونه ای که این n شی به طریق می توانند در کنار هم قرار بگیرند.
در فرمول فوق علت تــقسیمها حذف حالات اضافی بوجود آمده است.

مثال: 8 پرچم موجوداند که 3تا به رنگ آبی و 2تا به رنگ قرمز و 3تا به رنگ سفید یکسان هستند.اگر قرار باشد این پرچم ها در یک ردیف کنار هم قرار گیرند چند علامت متمایز 8 پرچمی می توان ساخت؟

پاسخ:بر طبق مطالب فوق و فرمول ارائه شده تعداد حالات برابر است با:
واضح است که در این سوال پرچمهای آبی !3 و قرمز !2 و سفید !3 حالت اضافی تولید می کنند که باید از حالات کل یعنی !8 حذف شوند.

---

جایگشت دوری:

تا به حال در مورد جایگشتهایی بحث کردیم که در مورد کنار هم قرار دادن چند شی در یک ردیف بودند. حال می خواهیم
گونه ای جایگشت را بررسی کنیم که در آن اشیا به صورت دوری در کنار هم قرار گیرند. با یک مثال نحوه محاسبه تعداد حالات جایگشت را توضیح می دهیم و در نهایت فرمولی برای محاسبه ان ارائه می دهیم:
فرض کنید می خواهیم تعداد حالاتی را که ممکن است 3 نفربه دور یک میز گرد بنشینند محاسبه کنیم. اگر قرار بر این بود که این افراد در یک ردیف کنار هم باشند این عمل به 6=!3 حالت صورت می پذیرفت. اما در نشستن به دور میز گرد مسئله متفاوت است چرا که بر طبق شکل در این جایگشت هر 3 حالت:

یک حالت محسوب می شوند چرا که هر یک دوران یافته دیگری در یک زاویه معین است و نیز هر سه حالت:

نیز یک حالت محسوب محسوب می شوند. پس تعداد کل حالات متمایز برابر دو عدد است.

به عبارت دیگر می توان A را یکجا قرار داده و B و C را در اطراف او نشاند. این کار به !2=!(2-3) طریق رخ می دهد.

نتیجه: در حالت کلی برای محاسبه جایگشت های دوری n شی دو به دو متمایز ابتدا یکی آنها را ملاک قرار داذه(فرق نمی کند کدام را) و سپس n-1 شی باقی مانده را به !(n-1) حالت به دور او قرار می دهیم.
پس تعداد حالات جایگشت دوری n شی دو به دو متمایز برابر است با:

• قواعد
• اصل اول
• اصل دوم
• بنیادهای شمارش
• همچنین ببینید:

یکایک شمردن یا شمارش، ممکن است به عنوان فرآیندی آشکار تلقی شود که هر دانشجو در آغاز مطالعه علم حساب فرا می گیرد. ولی به نظر می رسد که پس از آن، به تدریج که دانشجو به زمینه های «دشوارتر» ریاضیات، چون جبر، هندسه، مثلثات، و حساب دیفرانسیل و انتگرال می رسد توجه بسیار کمتری به گسترش بیشتر مفهوم شمارش مبذول می شود.
یکایک شمردن محدود به حساب نیست. کاربردهایی نیز در زمینه هایی چون نظریه کدگذاری، حساب احتمالات، و آمار (درریاضیات) و در تحلیل الگوریتمها (در علم کامپیوتر) دارد.

قواعد

مطالعه خود را در ریاضیات گسسته و ترکیباتی با دو اصل اساسی شمارش آغاز می کنیم قاعده های حاصل جمع و حاصل ضرب، بیان این قاعده ها و کاربردهای اولیه آنها نسبتاً ساده به نظر می رسد. هنگام تحلیل مسائل پیچیده تر، غالباً قادریم مساله را به بخشهایی قسمت کنیم که با به کارگیری این اصول اساسی قابل حل است. هدف ما ایجاد قدرت «تجزیه»ی این گونه مسائل و ترکیب راه حلهای جزئی برای رسیدن پاسخ نهایی است. یک راه مناسب برای انجام این امر، تجزیه و تحلیل و حل تعداد زیادی از مسائل گوناگون مربوط به شمردن است. ضمن اینکه تمام مدت باید اصولی را که در راه حلها به کار می روند در نظر داشت. این همان رهیافتی است که ما در اینجا دنبال خواهیم کرد.

اصل اول

اصل نخست شمارش را می توان به صورت زیر بیان کرد:

قاعده حاصل جمع:اگر کاری را بتوان به m طریق و کار دیگری را بتوان به n طریق انجام داد، و اگر این دو کار را نتوان همزمان انجام داد،آنگاه این یا آنگاه را میتوان به m+n طریق انجام داد.

توجه داشته باشید که وقتی می گوییم رویدادی خاص، مثلاً کاری از نوع نخست، می تواند به m طریق دهد، فرض بر این است که این m طریق متمایرند، مگر آنکه خلاف آن بیان شود.

مثال 1 کتابخانه دانشکده ای کتاب درسی درباره جامعه شناسی و 50 کتاب درسی در باره انسان شناسی دارد. بنابر قاعده حاصل جمع، دانشجویی که در این دانشکده تحصیل می کند، به منظور فراگیری بیشتر درباره این یا آن موضوع، می تواند بین 90 = 50 + 40 کتاب درسی انتخاب به عمل آورد.
مثال 2 قاعده بالا را می توان به بیشتر از دو کار تعمیم داد مشروط برآنکه هیچ جفتی از کارها را نتوان همزمان انجام داد. به عنوان مثال، یک مدرس علم کامپیوتر که در هر یک از زمینه ها اپل، بیسیک، فرترن، و پاسکال مثلاً پنج کتاب مقدماتی وارد، می تواند هر یک از این 20 کتاب را به دانشجوی علاقه مند به فراگیری نخستین و برنامه نویسی توصیه کند.

اصل دوم

مثال زیر مدخلی برای معرفی اصل دوم شمارش است.
مدیر کارخانه ای به منظور اتخاذ تصمیمی درباره توسعه کارخانه، 12 نفر از کارمندان خود را در دو گروه گرد آورد. گروه A مرکب از پنج عضو است و بناست درباره نتایج مساعد احتمالی چنین توسعه تحقیقاتی به عمل آورد. گروه دیگر، یعنی گروه Bکه مرکب از هفت کارمند است درباره نتایج نامساعد احتمالی بررسیهایی به عمل خواهد آورد. اگر، قبل از اتخاذ تصمیم، مدیر نامبرده بخواهد فقط با یکی از این اعضا درباره تصمیم صحبت کند، آنگاه بنابر قانون حاصل جمع، می تواند 12 کارمند را احضار کند. ولی، به منظور قضاوت بی طرفانه مدیر نامبرده تقسیم می گیرد که روز دوشنبه با عضوی از گروه Aو سپس روز سه شنبه با عضوی از گروه B صحبت کند تا به اتخاذ تصمیمی نائل گردد. با به کارگیری اصل زیر، ملاحظه می کنیم که او می تواند به 35 = 7 * 5 طریق دو کارمند متعلق به گروههای دو گانه را برگزیند و با آنها صحبت کند.

قاعده حاصل ضرب: اگر عملی به دو مرحله اول و دوم تقسیم شود و اگر در مرحله اول m نتیجه ممکن و برای هر یک از این نتایج، nنتیجه ممکن در مرحله دوم وجود داشته باشد، آنگاه کل عمل نامبرده می تواند با ترتیب یاد شده، به mn طریق انجام شود.

گاهی این قاعده را اصل انتخاب نیز می نامند.

بنیادهای شمارش

• جایگشت
• ترتیب «ریاضی»
• ترکیب «ریاضی»

همچنین ببینید:

کاربرد اصول شمارش در فیزیک
قضیه دو جمله ای
تاریخچه اصول شمارش

                                           قواعد شمارش

چنانچه گفتیم برای محاسبه احتمال وقوع یک یشامد نیاز به محاسبه تعداد اعضای آن و تعداد اعضای فضای نمونه داریم . اغلب او قات شمارش اعضای یک مجموعه کار دشواری است و برای انجام این کار نیاز به شناسایی برخی اصول و قوانین داریم که به بررسی آنها می پردازیم.

اصل ضرب فرض کنید یک کار را بتوان با دو عمل پیاپی A,B انجام داد اگر عمل A به m طریق و به دنبال آن عمل B بتواند به n طریق انجام پذیرد آنگاه این کار به mn طریق انجام می پذیرد.

مثال : با ارقام 0,1,2,3 چند عدد دو رقمی می توان نوشت در صورتی که

الف) تکرار ارقام مجاز باشد.

ب) تکرار ارقام مجاز نباشد.

حل نوشتن یک عدد دو رقمی شامل دو عمل انتخاب رقم دهگان (A) و انتخاب رقم یکان (B) می باشد. بنابراین

الف) رقم دهگان می نواند یکی از ارقام 3,2,1 به سه طریق و رقم یکان یکی از ارقام 3,2,1,0 به چهار طریق باشد.   

معني شعر « رستم و اسفنديار »

چون روز شد رستم زره اش را بر تن كرد و علاوه بر آن ببر بيان را روي زره اش انداخت.

كمندش را به ترك بند زين ببست و بر آن اسب فيل پيكر سوار شد.

همچنان تا كنار رود هيرمند بيامد در حالي كه پيوسته تاسف مي خورد و مي خواست به اسفنديار پندهايي بدهد.

از كنار رود گذر كرد و به سوي بلندي رفت در حالي كه از كار روزگار شگفت زده بود.

خروش بر آورد كه اي اسفنديار همرزم تو آمد آماده ي جنگ باش.

چون اسفنديار اين سخن را از آن رستم جنگ جو شنيد خنديد و گفت من آماده ام از هنگامي كه از خواب بيدار شدم.

دستور داد تا زره و كلاه خودش را و نيز تيرها و نيزه اش را نزد او ببرند و آنها را بر تن خود بپوشاند و كلاه پادشاهي بر سر نهاد.

فرمود تا اسب را آماده كنند و به نزد او ببرند.

چون اسفنديار جنگ جوي زره اش را بر تن بپوشانيد از روي زور و قدرتي كه در او بود

ته نيزه را بر زمين نهاد و با تكيه بر آن بر روي اسب سوار شد.

همچون پلنگي كه براي شكار بر پشت گور خري بنشيند

آن دو پهلوان به گونه اي آماده ي جنگ شدند كه تو تصور مي كردي هرگز در جهان جشن و شادي نبوده است.

چون رستم و اسفنديار آن دو پهلوان جنگي نزديك هم رسيدند

چنان صدايي از اسبهايشان بر آمد كه تو تصور مي كردي ميدان جنگ شكافته شده است.

رستم با صدايي بلند به اسفنديار گفت اگر قصد تو جنگ و خونريزي است و به اين گونه مي خواهي بجنگي

فرمان بده تا سواراني از زابل بياورم كه در دست آنان خنجر كابلي باشد.

در اين رزمگاه آنان را به جنگ واداريم و خودمان اكنون لحظه اي آسوده باشيم.

مطابق ميل تو آنان جنگ خواهند كرد و تو تلاش و كوشش آنان را در جنگ مي بيني.

اسفنديار به او پاسخ داد كه اي ياوه گو اين سخنان بيهوده را چرا مي گويي.

براي من چه نيازي است جنگ زابلستان و يا جنگ ايران و كابلستان.

هرگز آيين و دين من اين كار را اجازه نخواهند داد وشايسته ي دين من نيست

كه ايرانيان را به كشتن بدهم تا براي چند روزي تاج پادشاهي را بر سر گذارم.

اگر تو به يار و ياوري نيازمندي بياور زيرا كه من هرگز به يار و ياور نياز ندارم.

آن دو پهلوان با هم عهد بستند كه در آن جنگ كسي به ياري آنان نيايد.

ابتدا با نيزه جنگ كردند در حالي كه خون از زره هر دو فرو مي ريخت.

از شدت قدرت اسبها و ضربات محكم شمشيرها آن شمشيرهاي سنگين نيز شكسته شدند.

چون آن دو پهلوان جنگي خشمگين شدند از شدت خشم بدنهاي يكديگر را گرفتند.

دسته هاي آن گرزهاي سنگين بشكست و آنان درمانده شده بودند.

سپس آن دو پهلوان جنگي كمربند يكديگر را گرفتند در حالي كه آن دو اسب جنگي سرهاي خود را پايين داده بودند.

آن دو پهلوان در حالي كه با زور و قدرت به يكديگر فشار مي آوردند ولي هيچكدام از آنها از جايش حركتي نكرد.

آن دو پهلوان جنگي از ميدان رزم دور شدند در حالي كه اسبانشان خسته و خودشان زخمي شده بودند.

دهانشان پر از خاك و خون شده بود و زره و لباس جنگي هر دو چاك چاك شده بود.

پس تعطيلي نبرد با حيله زال و رستم و مداواي رستم توسط زال آنها به ميدان بازگشتند در حالي كه رستم راه كشتن اسفنديار را كه شليك به چشمان او بود را از سيمرغ آموخته بود:

اسفنديار گفت شايد تو فراموش كرده اي كمان و پهلوي آن مرد جنگ جو را.

تو به سبب نيرنگ زال سالم گشته اي كه در غير اين صورت بايد به سوي مرگ مي رفتي.

امروز به گونه اي گردنت را مي كوبم كه ديگر بعد از اين تو را زال زنده نبيند.

رستم گفت كه از خداوند پاك و يزدان بترس و برخلاف عقل و احساس خودت عمل نكن.

من امروز براي جنگيدن نيامده ام بلكه براي پوزش و عذر خواهي و حفظ آبرو آمده ام.

تو در جنگ و ستم اصرار داري در حالي كه بر خلاف عقل خودت عمل مي كني.

كمان را آماده كرد و آن تير گزي را كه در آب انگورپرورانده بود

در كمان گذاشت و سر را به سوي آسمان بلند كرد.

گفت اي خداي آفريننده ي خورشيد و اي افزاينده ي دانش و شكوه و قدرت

خداوندا! جان پاك مرا مي بيني و همچنين از توان من آگاهي داري

كه چقدر اصرار مي كنم كه اسفنديار شايد از جنگيدن رو برگرداند.

تو آگاهي كه كوشش او ظالمانه است و از جنگ دلاوري دم مي زند.

مرا به خاطر اين گناهي كه انجام مي دهم مجازات مكن زيرا تو آفريننده ي ماه و تير هستي.

رستم تير گز را فورا در كمان نهاد طبق فرماني كه سيمرغ داده بود.

تير را بر چشمان اسفنديار زد و جهان در برابر آن پهلوان سياه شد.

اسفنديار كه همچون سروي آزاده بود خم شد و از اسب بر زمين افتاد وو ديگر دانش و شكوه ايزدي از او دور شد.